PRIMERA TUTORIA IMPARTIDA POR EL COMPAÑERO "Mathemati "
Adelante. La tutoría comienza ahora. Cuando queráis
De acuerdo con el planning. La tutoría de análisis tratará de Límites infinitos y la de álgebra de estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos
Comenzaré por el algebra
En primer lugar, estableceré el concepto de estructura matemática.
Daré la siguiente definición que luego explicaré con más detalle
Una estructura matemática está formada por dos partes: signatura y axiomas. La signatura, a su vez, es un ente abstracto formado por un conjunto de objetos S (que llamamos soporte de la estructura), un conjunto de operaciones o relaciones definidas sobre el soporte y una colección de elementos distinguidos de dicho conjunto soporte Los axiomas imponen condiciones a los componentes de la signatura.
Ahora paso a explicarlo
Estructura matemática = signatura+axiomas
signatura = conjunto + operaciones +elementos distinguidos
axiomas
Las estructuras matemáticas pueden ser algebraicas, topológicas, de orden, etc
A nosotros nos interesan tan sólo las estructuras algebraicas.
Para aclarar un poco más el concepto daré un ejemplo:
La estructura algebraica de grupo
Vamos a definir la estructura matemática conocida como grupo. Para ello partimos de un conjunto no vacío
que notaremos por G
Este conjunto es la primera parte de la signatura
Sobre dicho conjunto definimos una operación
que notamos mediante el símbolo *
La operación es la segunda parte de la signatura
Y en G tomamos un elemento distinguido que notamos por e
que será la última parte de la signatura
Nos queda entonces por definir los axiomas
para completar la estructura = signatura+axiomas
Estos axiomas son tres
y sólo se refieren a la operación
El primero es la llamada propiedad asociativa
Para todos a,b,c de G es (a*b)*c = a*(b*c)
Observemos que la operación * es binaria por lo que cuando operemos tres elementos hay varias formas de hacerlo
La asociatividad nos dice que cualquiera de tales formas (conservando el orden) es igual
Atención a la cuestión del orden
El segundo axioma se llama existencia de elemento neutro
y dice así:
Existe al menos un elemento e de G tal que
para todo a de G es a*e = e*a = a
Precisamente, el neutro es el elemento distinguido que hemos mencionado al hablar de la signatura
Observemos también que se nos dice a*e = e*a = a y no sólo
a*e = a
o bien
e*a = a
Precisamente, en virtud de tal definición de neutro. Se puede demostrar que éste es único
Finalmente, el tercer axioma
se llama existencia de simétrico
y se enuncia así:
Para todo a de G existe al menos un y de G tal que a*y=y*a = e
Observad también que se exige a*y = y*a = e
y no sólo a*y = e
o bien y*a = e
Como en el caso del neutro, el simétrico es único para cada elemento
Aclararé un poco más esto
No quiero decir que haya un sólo simétrico
Sino que cada elemento tiene un único simétrico
aunque en ocasiones (pocas veces mencionadas en ejemplos) dos elementos diferentes pueden tener el mismo simétrico
Bien...AHora es el turno de las preguntas sobre la definición que he dado y el ejemplo mostrado
Adelante
no hay preguntas
PequeB da tiempo a los demás :)
existe simétrico de e
Sí
Todo elemento de G ha de tener simétrico
como e es un elemento de G
es evidente que también tiene simétrico ¿Cuál es?
sí mismo
Sí. ¿Por qué?
e * e = e
Bien. Pero no cierto del todo
pq el es el unico que combinado con si mismo da e
En realidad, porque es la única solución de la ecuación e*x = x*e = e
porque e * e = e*e = e
Y esto me lleva a pensar en los grupos como estructuras que permiten cierto tipo
de seguridad a la hora de resolver ecuaciones
Me explico con más detalle
A partir de ahora, notaremos la estructura de Grupo mediante (G,*)
Notaremos la estructura de grupo mediante (G,*)
entendiendo que en esa notación está la signatura
y que los tres axiomas se dan por sabidos
Pues bien, en un grupo (G,*), toda ecuación
de la forma a*x0b
perdón
a*x = b, con a y b conocidos y x incógnita
tiene una única solución
Por ello, al plantear la ecuación
e*x = e
ésta ha de tener una única solución
y tal solución es el simétrico de e, en virtud de la definición de éste
¿Más preguntas?
¿cuál es?
si
pq e es el elemento distinguido, por definicion? y que significa distinguido?
¿la solución de a*x = b
Respuesta a PequeB
La solución de a*x = b
se obtiene utilizando el simétrico de a
Si tal simétrico se nota por a^(-1)
la inversa...
(notación usual que no tiene por que referirse al producto)
No hablemos de inversa todavía
A este nivel de abstracción es más correcto hablar de simétrico
(puede denotarse por a´?
Sólo cuando la operación es un producto se habla de inversa multiplicativa
Sí...Puede notarse por a'
Así lo hare.
Retomando el argumento
(... estaria más claro)
Si es a' el simétrico de a
entonces la solución de a*x = b
es obtenida de la expresión
a'*(a*x) = a'*b
la cual, en virtud de la propiedad asociativa y de la definición de simétrico puede desarrollarse en la forma
(a'*a)*x = a'*b
e*x = a'*b
x = a'*b
Respuesta a RG
Se llama elemento distinguido porque tiene un papel importante
en la definición de estructura
En este caso tomamos el neutro
pues todo grupo tiene obligatoriamente neutro
y el mínimo grupo posible sería
aquel formado por sólo el elemento neutro
Normalmente se le llama grupo trivial
G = {e}
¿Más preguntas?
adelante
Bien. He dicho que hay estructuras algebraicas, topológicas, de orden, etc.
Para aclarar un poco más la idea de estructura voy a hablar de una estructura topológica
Partimos de un conjunto X, no vacío, y de una colección T de sus partes
Es decir, T es un conjunto formado por subconjuntos de X
X y T forman parte de la signatura
Como elemento distinguido tomamos el conjunto X
y como operaciones la unión y la intersección
Ya tenemos la signatura completa = conjuntos + elemento distinguido + operaciones
Ahora sólo nos faltan los axiomas
Decimos que T es una topología sobre X
si cumple los tres axiomas siguientes
1) El vacío y X pertenecen a T
2) La unión de cualquier colección de elementos de T es también un elemento de T
3) La intersección de un número finito de elementos de T también es un elemento de T
¿Dudas?
¿Aclaraciones?
las tres propiedades anteriores , porque son axiomas?
teneia entendido
que los axiomas eran proposiciones
que se daba por sentado su veracidad
Cierto. No hay una distinción lógica
Sólamente se toman como axiomas aquellas que no queremos demostrar
sino que, como dices, se dan por ciertas
Son el punto de partida para construir nuevas proposiciones
El conjunto o conjuntos que forman parte de la signatura
se llama generalmente soporte de ésta
Las estructuras resultan de "encadenar" de alguna forma una serie de objetos matemáticos, sin embargo, en muchas ocasiones, las propias estructuras pasan a ser a su vez objetos matemáticos de otra estructura mayor. También es posible (y muchas veces deseable) que un mismo soporte se use en varias estructuras.
Como ejemplo de un conjunto que es el mismo soporte de varias estructuras
tenemos el conjunto de los números reales
Tal conjunto reúne estructuras algebraicas, de orden y topológicas
y además están profundamente relacionadas unas con otras
A continuación explicaré el concepto de anillo
Un anillo es una estructura algebraica más compleja que la de grupo
pues precisa de dos operaciones y no de una sola
¿ALguna pregunta antes de comenzar?
¿Nadie me pregunta qué es un grupo conmutativo?
el anillo es una estructura algebraica, ¿no?
CIerto
¿Cómo distinguir una estructura algebraica de una de orden o una topológica?
un grupo con la propiedad conmutativa
Cierto, luismi
Los grupos conmutativos son aburridos :)
Las demostraciones más interesantes se hacen sobre grupos no conmutativos. El hecho de que el orden de los operandos no importe para el resultado final da lugar a muchos resultados que ya conoceís
pero que no tienen la carga de sorpresa que otros resultados
obtenidos en grupos no conmutativos
Cuando estudieís álgebra lineal
tendréis un ejemplo de grupo no conmutativo
en el conjunto de las matrices con el producto
Suele dar muchos problemas a la hora de trabajar pues inconscientemente
tenemos grabados resultados aritméticos
que sólo son válidos en grupos conmutativos
¿Alguna cuestión más antes de empezar con los anillos?
si
Dime, PequeB
?¿
las sucesivas ampliaciones del concepto de número sugieren estructuras algebraicas cada vez más amplias en orden ascendente
Cierto
grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial
Sí
por ejemplo ejemplo de grupo podría ser el de los números enteros Z con respecto a la adición ( + )
Sí. Es un ejemplo.
Concretamente de grupo conmutativo
además es un grupo conmutativo, puesto que la operación de adición tiene la propiedad conmutativa
OK
podría ponerse un ejemplo de estructura en anillo con conjunto de números?
Claro. El mismo Z con las operaciones de suma y producto usuales
Sería un anillo conmutativo unitario
Pero esto he de explicarlo con más detalle
(perdón, aún estamos a las puertas de definir los anills :) )
Bien.¿Alguna cuestión sobre grupos?
Paso a definir la estructura algebraica de anillo
Un anillo es una estructura formada por un conjunto no vacío, dos operaciones definidas sobre dicho conjunto, un elemento distinguido y una colección de propiedades (tomadas como axiomas)
signatura del anillo = A + 2 operaciones + elemento distinguido
Las dos operaciones definidas en A las notaremos mediante + y *
sin que ello signifique que se trata de la suma y el producto usuales
Sólo es una notación cómoda y altamente significativa
Bien. Respecto a la primera operación + el conjunto A es un grupo abeliano
Hola. Estoy aquí de nuevo
Por lo visto el nick está registrado
y he tenido que cambiar
soy mathemati
Como decía
El conjunto A con la primera operación +
es un grupo abeliano
Observad que hacemos uso de una estructura algebraica para definir otra
Esto es una práctica común
Respecto a la segunda operación *
el conjunto A verifica los axiomas siguientes
Para todo a,b y c de A
es (a*b) *c = a* (b*c)
Es decir, la propiedad asociativa
Finalmente, la segunda operación es distributiva por ambos lados respecto a la primera
Esto significa que a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
yt también
(a+b)*c = (a*c)+(b*c)
¿Alguna pregunta?
no
algunos autores definen (A,*) como semigrupo
OK luismi
un semigrupo es una estructura algebraica donde sólo se considera una operación y ésta es asociativa
Un anillo es conmutativo si la segunda operación (*) lo es
y es unitario si la segunda operación (*) tiene elemento neutro
Cuando hablamos de un anillo unitario y conmutativo estamos diciendo que en el anillo la segunda operación es conmutativa y tiene elemento neutro
Como ejemplo tenemos el conjunto de los enteros Z con la suma y el producto usuales
En los anillos no todas las ecuaciones de la forma a*x = b
tienen solución
¿por qué?
se necesita e.simétrico
Cierto.
pq es posible que (A,*) no tenga simetricos
será porque no está asegurada la existencia de elemento simétrico respecto de la segunda operación *
OK
Un anillo unitario y conmutativo donde todo elemento tiene simétrico es un cuerpo conmutativo
¿cuerpo?
Eso es. Un cuerpo no es más que un tipo de anillo
pero es ya una nueva estructura más amplia, ¿no?
Es una ampliación de la estructura de anillo unitario y conmutativo y sólo precisa del detalle de la existencia de simétrico para todo elemento
No es el mismo tipo de ampliación que consideramos al pasar de grupo a anillo
Un concepto interesante en los anillos es el de divisor de cero
Por supuesto, al hablar de que todo elemento tiene simétrico estoy eliminando al cero
Para ser más precisos.